第一同构定理

这是整个线性映射主题的结构性高潮。取任一线性映射 T : V -> W。它不单射的程度恰由其核度量，它不满射的程度恰由 W 比其像大出多少来度量。第一同构定理说：若你从定义域中把核商掉，所余之物正是像的一份完美副本。用符号写，V / ker T 同构于 im T。

直观如下：两个输入 u 与 v 被送到同一处，当且仅当 u - v 落在核中。所以 T 分辨不出相差一个核元素的向量。商空间 V/ker T 正是借由宣布这种向量相等——把每个陪集塌缩为一点——而构造的。一旦做了这种塌缩，T 就变成单射，又因它恰好落在 im T 上，便成为到像的双射。线性双射就是同构。

具体地说，这个同构就是诱导映射 T-bar，它把陪集 v + ker T 送到 T(v)。它良定，因为任意两个代表元相差一个核向量，而 T 把核向量送到零；它线性，因为 T 线性；它由构造而单射；它由像的定义而满到 im T。这一个诱导映射承载了全部内容。

为何重要：这一条定理就是秩-零化度背后的引擎，也是一条在群、环、模上反复出现的定理在线性代数中的影子。学会把核、像与商看作同一个三角形的三条边，正是第二卷所围绕的概念升级。