在算子处的多项式求值

固定一个算子 T，考虑这样一条规则：它把多项式 p(x) 变成算子 p(T)——把每个 x 换成 T，每个常数 c 换成 cI，再把结果读作单个算子。例如 x^2 + 3x - 5 变成 T^2 + 3T - 5I。这条规则就是求值映射 ev_T: F[x] -> End(V)。

奇妙之处在于 ev_T 尊重一切算术。它把和送到和，把标量倍送到标量倍，而且——关键事实——把积送到积：(pq)(T) = p(T) q(T)。它还把常数多项式 1 送到恒等 I。一个保持加法、乘法与单位元的环间映射称为环同态，所以 ev_T 是从 F[x] 到 End(V) 的代数同态。

它的像是 F[T]，即 T 的全体多项式构成的子代数，它自动是交换的——尽管整个 End(V) 并不交换——因为单一元素 T 的多项式彼此交换。它的核是被送到零算子的多项式集合，即恰是前几词条中的零化理想 I(T)。

现在环的第一同构定理闭合了这个回路：F[x] / ker(ev_T) 同构于像。既然核由极小多项式 m 生成，这便读作 F[x]/(m) 同构于 F[T]。于是关于 T 的代数的每个结构性事实，都是关于商环 F[x]/(m) 的事实——一次从算子到多项式的、极为干净的转移。