极小多项式与特征多项式
零化多项式理想
把零化某个固定算子 T 的每一个多项式收进一个集合，记 I(T) = { p in F[x] : p(T) = 0 }。上一词条已观察到这个集合是环 F[x] 的一个理想；本词条为它命名、研究其形状，并提炼出要点。可把它看作算子的代数签名，以一组多项式的形式记录下来。
F[x]，即域 F 上的一元多项式环，是主理想整环（PID）：每个理想都是某个单一生成元的全体倍数。所以 I(T) = (g) 对某个多项式 g 成立——又因非零理想有唯一首一生成元，g 必定是极小多项式 m_T。理想的抽象代数坍缩为一个你可以计算的具体对象。
使 F[x] 成为 PID 的，是带余除法：给定任意 p 与任意非零 d，可写 p = qd + r 且 deg r < deg d。取 d = m_T 来跑一遍：余式 r 也零化 T（因为 p 与 qm 都零化），但 r 的次数低于极小次数，逼得 r = 0。这正是为何 m 整除每一个零化多项式——PID 结构就是那台引擎。
概念上这是线性代数把方向盘交给环论之处。单个理想 I(T) 编码了算子的零化行为，商环 F[x]/I(T) 同构于 T 的多项式构成的代数 F[T]，且这些想法可放大：把 F[x] 换成一般 PID 便给出有理标准形背后的结构定理。
I(T) = (m_T) = { q(x) * m_T(x) : q in F[x] }
F[x] / I(T) is isomorphic to F[T] = { p(T) : p in F[x] }
零化理想恰是极小多项式的全体倍数，用它对 F[x] 取商便重现了 T 的全体多项式构成的代数。
I(T) 绝不会是整个环（常数 1 不会零化非零空间），在有限维下也绝不会只是 {0}（凯莱-哈密顿提供了一个非零成员）。所以它是一个真正的、非零的真理想——恰是首一生成元唯一的情形。
又称
另见