极小多项式与特征多项式
分裂域
特征值是特征多项式的根，但根未必活在你起步的域里。实矩阵 [0, -1; 1, 0]（90 度旋转）的特征多项式是 x^2 + 1，它没有实根——所以在 R 上这个算子根本没有特征值。要找到它们，你必须扩大域。分裂域是使 chi(x) 完全分解为线性因子的最小域扩张。
具体地说，给定域 F 上的 chi(x)，它的分裂域是包含 F 及全部根 lambda_1, ..., lambda_n 的最小域，使得在那里 chi(x) = (x - lambda_1)...(x - lambda_n)。对上面的旋转，分裂域是 C，其中 x^2 + 1 = (x - i)(x + i)，特征值 i 与 -i 终于现身。
何必如此？若干定理只有在特征多项式分裂后才被点亮。一个域上的三角化要求 chi 在那里分裂（舒尔定理需要 C，或任意代数闭域）；计入重数存在 n 个特征值需要分裂；约当形正是因此才是代数闭域上的定理。过渡到分裂域是使这些工具可用的标准动作。
一个诚实的注意点：扩大域是一次真正的换景，并非免费。一个在 R 上不可约的实算子可能有成对共轭出现的复特征值，而实标准形（实约当形、有理标准形）的存在恰是为了在你必须时把你留在本域里。分裂域是完全可对角化或可三角化的代价。
A = [0, -1; 1, 0] over R, chi(x) = x^2 + 1
over R: irreducible, no eigenvalues
over C (the splitting field): x^2 + 1 = (x - i)(x + i), eigenvalues i, -i
旋转没有实特征值；只有过渡到它的分裂域 C 后，特征多项式才分裂、特征值才出现。
在像 C 这样的代数闭域上每个多项式本就分裂，故分裂域就是该域本身——这正是复线性代数顺畅得多的原因。极小多项式在小域上可能保持不可约，却在其分裂域上裂开。
又称
另见