舒尔分解

舒尔定理是矩阵论里默默无闻的主力：任何复方阵 A 都能通过一次正交规范的基变换化为上三角矩阵。没有哪个矩阵太狂野——你也许不能把它对角化，却总能把它三角化，而且能用酉矩阵来做，那是数值上最温和的基变换。

形式地说，对任意 A 属于 C^(n x n)，存在酉矩阵 Q（即 Q^* Q = I）和上三角矩阵 T，使 A = Q T Q^*。T 的对角元就是 A 的特征值，次序随你安排酉矩阵而定。证明每次剥下一个特征向量，做正交规范化，再对更小的块递归——无非是不变性加 Gram-Schmidt。

为何重要：因为 Q 是酉的，这个变换条件完美，所以数值算法（QR 算法）实际计算的是舒尔形，而非约当形。约当形精确却不连续、对舍入误差不稳定；舒尔形稳定，且几乎一样有用。当 A 是正规的（A A^* = A^* A）时，三角的 T 其实是对角的——那个特例正是谱定理。