旗

旗是一座层层嵌套的子空间塔，每一层都严格含在下一层里：{0} = V0 含于 V1 含于 V2 含于 ... 含于 Vn = V，当旗完备时每一步恰好增加一维。想象一连串越来越大的嵌套房间，最小的是一个点，最大的是整个空间。

如果塔的每一层都是不变子空间，旗就是 T 不变的：对所有 i 都有 T(Vi) 包含于 Vi。这一条嵌套链就是三角形的几何内涵。选一组基，使前 j 个向量张成 Vj；那么因为 T 把 Vj 推进 Vj，T 的矩阵在对角线以下没有元素——它是上三角的。

所以把算子三角化和找一面完备的不变旗是同一件事，只是用矩阵语言还是子空间语言来说。这个视角推广得极漂亮：在李理论里，所有完备旗的集合是旗流形，而 Borel 子群恰是旗的稳定子。三角矩阵的对角元是 T 在相继的一维商空间 Vi / V(i-1) 上作用的特征值。