可三角化性

一个算子是可三角化的，如果你能找到一组基，使它的矩阵成为上三角——所有动作都落在对角线上或其上方，下方什么也没有。这比可对角化更弱、更容易达到，后者坚持要求对角线外的一切都消失。

干净的判据是：T 在某个域上可三角化，当且仅当它的特征多项式在该域上分裂为一次因子之积。在复数上每个多项式都分裂，所以每个复算子都可三角化——这就是去掉酉精化的舒尔定理。在实数上则可能失败：旋转 90 度的特征多项式是 x^2 + 1，它不分裂，事实上它不固定任何直线，所以不存在三角形。

三角形已经够用于出人意料地多的事。对角元是带代数重数的特征值，于是你立刻读出行列式（它们的积）和迹（它们的和），幂和矩阵指数也变得可算。它没给你、而对角化会给你的，是各块的独立性——严格上三角部分仍把坐标耦合在一起。