作为向量空间的域扩张

在此线性代数伸入了数论。若一个域 K 含有一个更小的域 F（一个扩张，记作 K 在 F 上），则 K 自动是 F 上的向量空间：它的元素是“向量”，F 的元素是标量，而域自身的加法与乘法供给了向量空间运算。同一个集合 K 戴着两顶帽子——它本身是一个域，又是子域 F 上的一个向量空间。

一旦 K 是 F 上的向量空间，它便有维数，而该维数获得一个特别的名字：扩张的次数，记作 [K : F]。于是这座桥是精确的——一个关于 K 比 F 大多少的问题，变成一个关于维数的问题，可用基与维数定理来回答。第一卷与本领域的整套机器，骤然可用于研究域。

最干净的例子是 C 在 R 上。每个复数都是 a + b*i（a, b 为实数），故 {1, i} 是一组基，C 是二维实向量空间：[C : R] = 2。同样，Q(sqrt 2)，即添加 sqrt 2 的有理数，在 Q 上以 {1, sqrt 2} 为基，每个元素都是 a + b*sqrt 2（a, b 为有理数），故其次数为 2。添加一个立方根则给出次数 3，基为 {1, c, c^2}。

为何重要：次数的可乘性——若 F < K < L 则 [L : F] = [L : K]*[K : F]——不过是空间塔中维数相乘的陈述，也是经典不可能性证明背后的引擎（你无法用圆规与直尺三等分一个角或倍立方）。一个听起来像几何的定理，由对域扩张维数的计数定夺。线性代数正在乔装着挑大梁。