维数定理

维数定理是使“维数”成为合法用词的结果：同一个向量空间的任意两组基有相同数目的元素。没有它，你便无法诚实地说 R^3“是三维的”——说不定某组巧妙的基有四个向量？这条定理排除了这种可能。给定空间的每组基都有相同的大小，于是那个共同的大小可被一劳永逸地命名：维数。

在有限维中，引擎是施泰尼茨交换引理：任何线性无关集都不可能大于任何张成集，因为你能把无关向量逐个换入张成集而不缩小其张成。既然基既无关又张成，两组基便从两个方向互相界定大小，迫使它们相等。证明是纯粹的计数，没有依赖具体域的魔法。

同一陈述在无穷维中也成立，只是以基数代替计数：V 的任意两组哈梅尔基之间存在双射——它们有相同的基数。论证需更多小心（且需选择公理），但结论相同：维数，无论有限或无穷，都是空间的内禀不变量，对你恰好选了哪组基视而不见。

为何这如此重要：维数是我们拥有的第一个、也是最稳健的不变量。同一域上的两个空间同构，当且仅当它们维数相同——句号。于是维数在同构意义下完全分类了向量空间，这是代数其他分支都不曾如此干净地享有的。其后每个不变量（秩、重数、符号差）在某种意义上都是这一个基础计数的精细化。