向量空间同构

向量空间 V 与 W 之间的同构是一个既线性又双射——单射且满射——的映射 T: V -> W。线性意味着它尊重两种运算，T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)；双射意味着它既不丢失也不臆造任何东西。当这样的 T 存在时，我们称 V 与 W 同构，记作 V 同构于 W，且逆映射 T^-1 自动也是线性的，故此关系是对称的。

同构意味着就线性代数所能分辨而言，两个空间是相同的。同构是一次完美的重新标号：它把基送到基、把无关集送到无关集、把子空间送到子空间，并保持每个维数与结构关系。任何仅用向量空间运算可证的陈述，在 V 中为真恰当它在 W 中为真。两个空间看上去可能截然不同——一个是多项式，另一个是列向量——却在线性代数上无从区分。

基石定理：域 F 上每个 n 维空间都同构于 F^n。取 V 的一组基 e_1, ..., e_n，把每个向量送到它的坐标元组；该映射是到 F^n 的线性双射。于是次数 <=3 的多项式、2 乘 2 矩阵与 R^4 都是“同一个”四维实空间穿着不同的戏服。这正是为何第一卷关于 R^n 的结果悄然统辖每个有限维空间。

诚实的妙语是维数定理的孪生兄弟：F 上两个有限维空间同构，当且仅当它们维数相等。维数是完全不变量——它是同构唯一可能无法匹配的东西。这是向量空间独有的奢侈，也是使线性代数远比群、环或拓扑空间那些更杂乱的分类来得易于驾驭的原因。