标量域

每个向量空间都建立在一个所选的域 F 之上，它的标量恰好是 F 的元素。域是一个集合，在其中你可以加、减、乘，并能除以任何非零元，且服从一切惯常规则——R 与 C 是域，有理数 Q 与素数 p 的模 p 整数构成的有限域 F_p 也是。开始之前先选定 F；它是空间数据的一部分，而非事后补充。

域不是被动的背景——它支配着什么为真。多项式 x^2 + 1 在 R 上无根，因此实算子可能没有特征值；在 C 上它分裂，每个算子都有特征值。在有限域 F_2 = {0, 1} 上只有两个标量，于是过原点的一条“直线”仅含两个点。换一个域，你几乎改变了其后每一个问题的答案：哪些矩阵可对角化、哪些多项式可因式分解，甚至有限维空间含有多少个向量。

为何坚持用域而不只是 R？因为证明用到的全部只是你能除以非零标量。高斯消元除以主元；求基时除法用于归一化；整套理论靠除法运转。恰好要求这一点——一个域——你便得到最干净的设定，使一切熟悉的机器照常运作，无论标量多么奇异。

一句警示：去掉除法要求，你就完全离开了向量空间的世界。来自缺乏逆元之环（如整数 Z）的标量给出的是模而非向量空间，而模会失常——基可能不存在。让 F 保持为真正的域，正是保证第一卷那些舒适结果能存活到第二卷的关键。