无穷维空间

当没有任何有限的向量集张成一个空间时——等价地，当它含有一个无穷的线性无关集时——这个向量空间就是无穷维的。这样的空间无论你把 n 取得多大都装不进任何 F^n。所有次数的多项式、实数序列、区间上的连续函数：每个都需要无穷多个基向量，是真正无穷维的。

最干净的判据是单项式。在全体多项式空间中，1, x, x^2, x^3, ... 永远线性无关——更高次幂的任何有限组合都不会等于一个较低次的——故没有任何有限列表能成为基。这一个例子证明了无穷维性，也是通往整个主题的平缓入口，因为它仍有一组你能显式写下的基。

这正是有限维直觉开始裂开之处，而裂缝很有启发。一个算子可以是单射却非满射（把 (a_1, a_2, ...) 送到 (0, a_1, a_2, ...) 的移位是单射，却漏掉一切首项非零者）——方阵那条舒适的“单射当且仅当满射”失效了。一个空间可与它自身的一个真子空间同构。和未必收敛，而大多数有用的“基”成为无穷的拓扑基，而非哈梅尔基。

诚实的说法是：无穷维正是代数把接力棒交给分析之处。要驯服这些空间，你通常添加一个范数或内积以及极限概念，抵达巴拿赫空间与希尔伯特空间，以及有界算子与紧算子的理论——本卷最后一轨的主题。纯代数仍然适用，但有趣的问题变成了拓扑的。本词条是那道门；算子一轨穿门而过。