函数空间

这便是让抽象值得一搏的例子：函数本身就是向量。固定一个集合 X 与一个域 F，令 V 为全体函数 f: X -> F。逐点相加，(f + g)(x) = f(x) + g(x)，并按 (a*f)(x) = a*f(x) 缩放。检验八条公理——它们自动成立，因为 F 已在每一点遵守它们——于是 V 是一个向量空间，其“箭头”是一整个函数。

限制允许哪些函数，便引出一队熟悉的角色。次数至多 n 的多项式构成一个 (n+1) 维空间，以 1, x, x^2, ..., x^n 为基。全体多项式构成一个以无穷基 1, x, x^2, ... 为基、没有任何有限基的空间。[0,1] 上的连续函数、可微函数、某个固定线性微分方程的解——每个都是函数空间，且每个都继承了由公理证明的每条定理。

这是典范的无穷维例子，正是在此处线性代数不再关乎数字方格，而开始为分析学供能。微分 D 与积分是函数空间之间的线性映射；D 的一个特征函数是满足 Df = lambda*f 的函数 f，即 e^(lambda*x)。傅里叶级数把一个函数在正弦与余弦的标准正交“基”中展开。第一卷的语言一旦施于函数，便成为现代数学与物理的引擎。

一句诚实的告诫：在无穷维中那些舒适的事实可能失效。多项式有一个你能写下的基，但全体连续函数空间却没有任何你能展示的基——只有一个由佐恩引理保证存在的抽象之基（哈梅尔基）。函数空间正是你首次感到有限维与无穷维之间地面位移之处。