实约当形

约当形需要复数，但我们关心的许多矩阵是实的，并且我们想要一组实基。实约当形给出答案：一个分块对角的实矩阵，在实数域上相似于 A，用普通约当块处理实特征值，用 2x2 的旋转-缩放块处理共轭复特征值对。

对实特征值 lambda，用通常的实约当块。对一对复特征值 lambda = a + i b 及其共轭 a - i b（实矩阵中它们总是成对出现），把对角线上每个标量 lambda 换成 2x2 实块 C = [a, -b; b, a]，把复块超对角线上的 1 换成 2x2 单位阵 I_2。结果是一个实矩阵，它把一个复约当块连同其共轭一并刻画。

块 C = [a, -b; b, a] 恰好是复数 a + i b 的乘法，写在实基 {1, i} 下：它按 lambda 的辐角旋转，并按 |lambda| 缩放。所以实约当形把几何显示出来——螺旋与旋转——而无需离开实数。

当你必须停留在实数时就用它：具振荡解的实线性 ODE 系统 x' = A x、实动力系统、控制论。复约当形与实约当形携带相同的信息；实的那个把复特征向量换成了货真价实的实二维不变平面。