可交换算子

两个算子可交换，是指无论以何种顺序作用，结果都相同：AB = BA。大多数矩阵对并不可交换——矩阵乘法中顺序至关重要——因此可交换是一种特殊而具结构意义的关系，而非常态。

其结构性回报是特征子空间的不变性。若 AB = BA，且 v 是 A 的特征向量，A v = lambda v，则 A (B v) = B (A v) = lambda (B v)，故 B v 仍落在特征子空间 E_lambda 中。换言之：B 把 A 的每个特征子空间映入自身。这使你能够逐个特征子空间地分析 B，而这正是共享特征向量基得以可能的原因。

因此可交换是开启同时对角化的钥匙：一族可交换的可对角化算子拥有一组公共特征向量基。这一思想远超线性代数——量子力学中的可交换可观测量、可一并对角化的可交换对称性，以及关于一组算子何以能被同时化简的整套理论，都建立在这一条关系之上。