同时对角化

对角化一个矩阵，意味着为它找到一组特征向量基。同时对角化要求更强的东西：一组同时对角化多个矩阵的基。在这组共享的特征向量基下，族中每个矩阵都在同一坐标系下化为对角形——这是一种非凡的对齐，并非每个集合都能享有。

简洁的定理：一族矩阵可同时对角化（即存在一个可逆 P，使族中每个 A 都满足 P^-1 A P 为对角形）当且仅当族中每个矩阵各自可对角化，且它们两两可交换，AB = BA。可交换是关键的额外要素；各自可对角化则是底线。

直观地说，两个可交换的算子彼此保持对方的特征子空间不变，于是在一个算子的每个特征子空间内部，你都可以进一步对角化另一个，从而细化出一组公共基。这正是量子力学中相容可观测量何以能同时测量、以及一族可交换的对称矩阵何以共享一组标准正交特征向量基的代数骨架。