彼得-外尔定理

彼得-外尔定理是把有限群特征标理论搬到紧群——如圆周或旋转群 SO(3) 这样的连续对称群——之上的桥梁。它说尽管这种群是无限的，你仍可用有限维的不可约碎片搭起它的全部表示论，而这些碎片的矩阵元足够丰富，能逼近群上任何合理的函数。

设 G 是带哈尔测度的紧（豪斯多夫拓扑）群，哈尔测度即典范的平移不变概率测度。彼得-外尔定理有几个相互交织的部分。其一，每个有限维表示完全可约，且每个不可约酉表示有限维。其二，不可约表示的矩阵系数——形如 g -> (rho(g) 的某个元) 的函数——在一致范数下张成连续函数 C(G) 的稠密子空间。其三，也是最精确的，L^2(G) 分解为对各不可约表示 rho 的希尔伯特空间直和，每个 rho 出现 (dim rho) 份，标准正交基由缩放的矩阵系数给出。

这恰好推广了有限情形：在那里群代数 C[G] 扮演 L^2(G) 的角色，哈尔测度即归一化的计数测度，而该分解就是正则表示的阿廷-韦德伯恩分解。对圆周群 U(1)，不可约表示是特征标 z -> z^n（n 为整数），彼得-外尔特化为傅里叶基的完备性——经典傅里叶级数正是最简单紧群上的彼得-外尔定理。