矩阵指数

矩阵指数把 e^x 那个熟悉的幂级数拿来，把一个矩阵喂进去。结果把一个李代数元素（一个“速度”，单位元处的一个方向）变成一个真正的群元素（一个有限变换）。它是把无穷小对称转换为有限对称的引擎。

定义 exp(A) = sum_{k>=0} A^k / k! = I + A + A^2/2 + A^3/6 + ...。这级数对每一个方阵 A 都收敛（其范数被标量级数 e^||A|| 控制），故 exp 在整个 M_n 上有定义。关键恒等式：exp(0) = I，d/dt exp(tA) = A exp(tA)，以及 exp(A)^-1 = exp(-A)。但要当心：exp(A+B) = exp(A)exp(B) 仅当 A 与 B 可交换时才成立。

它在此处的主角戏份：exp 把李代数 g 映入它的李群 G。若 A 反对称，则 exp(A) 正交；若 A 反埃尔米特，则 exp(A) 酉；若 trace A = 0，则 det exp(A) = 1，故 exp 把 sl(n) 送入 SL(n)。恒等式 det(exp A) = exp(trace A) 正是让这一切奏效的行列式-迹之桥。

它也是你求解线性常微分方程的方式：系统 x'(t) = A x(t) 配 x(0) = x0 的精确解为 x(t) = exp(tA) x0。所以矩阵指数同时是线性动力系统的流，又是单参数子群 t -> exp(tA)。一点提醒：要计算它，请对角化或用约当型——朴素地累加级数既慢又不稳定。