单参数子群

在李代数中挑一个方向 X，就一直朝那个方向走。你描出的路径 t -> exp(tX) 便是一个单参数子群：一条穿过单位元的光滑曲线，同时也是从实直线到群的同态。它是连续对称随时间展开的最干净图景。

形式地说，单参数子群是光滑映射 gamma : R -> G，满足 gamma(0) = I 以及对一切 s, t 有 gamma(s + t) = gamma(s) gamma(t)。同态律说的是“先流 s 时间再流 t 时间，等于流 s + t 时间”。一条定理：矩阵李群中每条这样的曲线都形如 gamma(t) = exp(tX)，其中 X 是李代数中唯一的元素，即 X = gamma'(0)。

所以单参数子群与李代数元素是同一组数据的两种看法：X 是初速度，exp(tX) 是它生成的轨迹。这恰是线性常微分方程 x'(t) = X x(t) 的流：代数元素 X 是速度场，子群 exp(tX) 是 t 时刻的流映射。

它为何重要：物理守恒律与连续对称（时间中的旋转、平移、量子力学中的相位演化）全都是单参数子群。一点提醒：像可以绕回。在环面上取无理斜率，曲线永不闭合，且填满一个稠密子集，这表明单参数子群未必是闭的（嵌入的）子流形。