李代数

若李群是一张弯曲的曲面，它的李代数便是在单位元处贴着该曲面的那平直切平面。它是群的线性化版本：从“什么也不做”出发你能移动的方向。因为它是向量空间，你终于能把全部线性代数工具用到群的局部结构上。

具体地说，矩阵李群 G 的李代数 g 是这样的矩阵 X 的集合：对一切实数 t，exp(tX) 都留在 G 中。它是一个向量空间（对加法与标量倍封闭），配有一项额外运算——李括号 [X, Y] = XY - YX，它记录群如何不可交换。李代数恰好是：一个向量空间，加上一个满足雅可比恒等式的双线性、反对称括号。

标准例子由在单位元处对群的定义方程求导而得。对 A^T A = I 求导得 X^T + X = 0，故 so(n) = { 反对称矩阵 }。对 A^* A = I 求导得 X^* + X = 0，故 u(n) = { 反埃尔米特矩阵 }，而 su(n) 再加上迹为 0。对 det A = 1 求导得 trace X = 0，故 sl(n) = { 迹为零的矩阵 }。

它为何重要：g 上的括号决定了单位元附近的群乘法（经由贝克-坎贝尔-豪斯多夫），于是大量艰深的非线性群论化为线性代数加一个括号。一点提醒：对实群而言，即便矩阵带复数元素（如 su(n)），g 仍是实向量空间，而反对称矩阵的括号仍反对称——在 [.,.] 下封闭才是不平凡之处。