李括号（换位子）

李括号度量两个变换在多大程度上不可交换。先 A 后 B，对比先 B 后 A；其差异由 [A, B] = AB - BA 捕获。若两操作可交换，括号为零；括号越大，次序越要紧。这单个取值为矩阵的对象，是李代数的心跳。

形式地说，[A, B] = AB - BA 是两个矩阵的换位子。它双线性（在每个分量上线性）、反对称（[A,B] = -[B,A]，故 [A,A] = 0），并满足雅可比恒等式 [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0。这三条性质就是李代数括号的抽象定义——而换位子是其具体模型。

括号是李代数的乘法，取代群的矩阵乘积。关键在于，若 X 与 Y 落在李代数 g 中，则 [X, Y] 亦然：两个反对称矩阵的换位子反对称，两个反埃尔米特矩阵的换位子反埃尔米特，两个迹零矩阵的换位子迹零（因为 trace(XY) = trace(YX)）。在括号下封闭，正是使 g 成为代数、而不止是向量空间的缘由。

它为何重要：括号是群不可交换性的一阶记录。贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式表明 exp(X)exp(Y) = exp(X + Y + (1/2)[X,Y] + ...)，故对朴素相加的领头修正恰为括号的一半。一点提醒：[.,.] 一般不结合——这正是为何李代数是其自成一格的代数，有别于结合环。