伴随表示

每个李群都自带一个在它自己李代数上的表示：它通过共轭作用于单位元处的切空间。这就是伴随表示。它回答“群如何重新洗牌它自己的无穷小方向？”——是群作用于自身的一幅自画像。

在群层面，Ad(g) X = g X g^-1：用群元素 g 共轭一个代数元素 X。由于共轭保持李代数且尊重括号，每个 Ad(g) 都是 g 上的可逆线性映射，而 Ad : G -> GL(g) 是一个真正的表示。在单位元处对 Ad 求导给出代数层面的版本 ad(X) Y = [X, Y]：作括号就是无穷小的伴随作用。

于是括号以表示的面目重现：ad : g -> gl(g)，ad(X) = [X, -]。雅可比恒等式恰好就是 ad 为李代数同态这一断言。这两个映射经由指数相连：Ad(exp X) = exp(ad X)，用一个干净的指数公式，把群的共轭系于代数的括号。

它为何重要：伴随表示组织起群的内部结构——它的核是中心，而对单群它忠实，故群本质上可由它如何作用于自己的代数而恢复。一点提醒：Ad 与 ad 易混——大写 Ad 是群在作用（用 g 共轭），小写 ad 是代数在作用（用 X 作括号）；二者由 Ad(exp X) = exp(ad X) 相连。