表示

表示把一个抽象群变成具体的矩阵，于是你能用早已掌握的线性代数去研究一个或许神秘的群。其想法是：让每个群元素作为一个可逆矩阵去作用，并使之尊重群的乘法。你无法想象的对称，变成了你可以计算的矩阵。

形式地说，群 G 在向量空间 V 上的表示是同态 rho : G -> GL(V)，即 rho(g h) = rho(g) rho(h) 且 rho(e) = I。每个元素 g 被实现为可逆算子 rho(g)，群中的复合对应于算子的相乘。V 的维数即表示的维数；V 称为表示空间。

要点在于抽象群变成了线性对称，于是特征值、迹与不变子空间都派得上用场。被每个 rho(g) 固定的子空间 W <= V 是子表示；不含非平凡不变子空间的表示是不可约的——它们是装配一切表示的原子，是表示论的核心。

两点提醒。表示未必忠实：若 rho 有核，则不同的群元素坍缩为同一矩阵、信息丢失（平凡表示 g -> 1 是极端情形）。而对李群，在单位元处对 rho 求导便得到其李代数的表示——故群与代数的表示成对相配。