不变（哈尔）测度

要“在群上取平均”，你需要一种公平地为其元素称重的办法——一种不偏袒任何区域的体积概念。哈尔测度恰是此物：一种在群上积分的方式，当你用一个固定群元素把一切平移时它保持不变。它是圆上均匀测度的群论推广。

精确地说，紧群 G 上存在唯一的概率测度 mu（总质量为 1），它平移不变：对任意固定的 g 与任意函数 f，integral f(gx) dmu(x) = integral f(x) dmu(x)，右平移亦然。对紧群，存在性与唯一性都有保证，这正是 O(n)、SO(n)、U(n)、SU(n) 全都拥有一个典范“均匀分布”的原因。

它的核心用途是取平均。给定任意对象，把它的群平移按哈尔测度积分，便得到一个群不变的对象：单凭这一招就证明了紧群的每个表示都保持某个内积（故可酉化），并且不变子空间有不变补。在群上取平均，能把任何东西对称化。

它也是你抽取随机群元素的方式：一个哈尔随机的正交或酉矩阵，正是“均匀随机旋转”的严格含义，是随机矩阵理论以及需要无偏随机基的数值算法的核心。一点提醒：对非紧群（GL(n,R)、SL(n,R)、Sp(2n,R)），哈尔总质量无穷，故没有均匀概率分布，且左、右不变测度甚至可能不同。