矩阵群与李理论
酉群 U(n)、SU(n)
酉群是正交群的复数表亲。正交群 O(n) 保持实长度，而 U(n) 保持 C^n 上的复（埃尔米特）内积：它是复旋转之群。它是量子力学赖以建立的对称群，因为酉映射保持概率。
形式地说，A 是酉的，当且仅当 A^* A = I，其中 A^* = conj(A)^T 是共轭转置。等价地，A 的各列在 <z,w> = sum z_k conj(w_k) 下构成 C^n 的一组标准正交基。于是 |det A| = 1，即 det A 落在单位圆上。特殊酉群 SU(n) 进一步要求 det A = +1——行列式的相位被钉死。
几何上 U(n) = { 在 C 上保持 <Az, Aw> = <z, w> 的映射 }。与 O(n) 不同，U(n) 是连通的：行列式可取任意相位 e^{i theta}，而你能把这相位连续地旋回到 1，故没有两块之分。U(n) 与 SU(n) 都是紧的，这再次使取平均（哈尔测度）表现良好。
物理学家为何在意：SU(2) 支配自旋，SU(3) 支配强相互作用，U(1) 支配电磁的相位。一点需厘清的提醒：U(n) 作为实流形坐落于 GL(n,C) 中，维数为 n^2，而 SU(n) 的维数为 n^2 - 1（单一的 det = 1 约束去掉了一个实方向）。这些都是实维数，不是复维数。
A = [a, -conj(b); b, conj(a)], |a|^2 + |b|^2 = 1 => A^* A = I, det A = 1, A in SU(2)
一般的 SU(2) 元素由两个满足 |a|^2 + |b|^2 = 1 的复数 a、b 构成——恰好是三维球面上的一个点。
自检：U(1) = { e^{i theta} } 就是单位圆，最简单的非平凡紧群。SU(2) 原来就是三维球面 S^3，作为 SO(3) 的二重覆盖位居其上一层——这正是通往四元数的桥梁。
又称
另见