复（埃尔米特）内积

在第一卷中，R^n 上的点积让你度量长度和角度。在复数域上，朴素的求和 sum z_k w_k 通不过一项基本检验：向量应当具有实的、非负的长度。补救办法是对一个因子取共轭，于是 <z,z> = sum z_k conj(z_k) = sum |z_k|^2，这是一个真正非负的实数。

精确地说，复向量空间 V 上的复内积是映射 <-,-> : V x V -> C，它在一个分量上线性（我们取第一个），共轭对称（<u,v> = conj(<v,u>)），且正定（<v,v> >= 0，等号仅当 v = 0）。共轭对称迫使 <v,v> 等于它自己的共轭，因而为实数，于是正定性才有意义。

由于该形式在第一分量上线性，而共轭对称把一个共轭抛到第二分量上，所以它在第二分量上是共轭线性的：<u, c v> = conj(c) <u,v>。这种不对称正是实长度的代价，它会向下传播到处处——传到伴随、极化恒等式以及谱定理。

关于约定的一点提醒：物理学家常让第二分量线性（狄拉克的左右矢记号），数学家通常让第一分量线性。数学内容完全相同，只是共轭挪了位置。动手计算前先定下你的约定，否则每个共轭都会落在错误的一侧。