伴随算子

矩阵的转置交换行与列，但那是坐标的把戏。伴随是其无坐标版本：T^* 是让你把 T 从内积的一侧挪到另一侧的算子。它是内积自身的转置概念。

定义：给定 T : V -> W，其伴随 T^* : W -> V 是满足 <T u, v> = <u, T^* v>（对一切 u 属于 V、v 属于 W）的唯一算子。存在性与唯一性直接来自里斯定理：固定 v，映射 u -> <T u, v> 是泛函，故它等于某唯一 w 的 <u, w>，我们命名该 w = T^* v。

在标准正交基的坐标下，T^* 恰是共轭转置：(T^*)_{jk} = conj(T_{kj})。在实数域上共轭消失，T^* 就是普通转置。这就是为何关于转置的每个事实——但以不变方式陈述——其实都活在伴随这一层。

一个警告：矩阵等于共轭转置这一恒等式要求标准正交基。在歪斜的基下，伴随会带上格拉姆矩阵作为修正。伴随由内积而非坐标定义，唯有标准正交坐标才能干净地报告它。