里斯表示定理

V 上的线性泛函是线性映射 phi : V -> F，它吃进一个向量、吐出一个标量——就是矩阵的行、对偶向量、V* 中的元素。里斯定理给出惊人的论断：在有限维内积空间上，每个这样的泛函暗中都只是“与某固定向量作内积”。

精确地说：对每个线性泛函 phi，存在唯一向量 v 属于 V，使得 phi(u) = <u,v> 对一切 u 成立。向量 v 就是乔装的泛函。要构造它，取标准正交基 e_1,...,e_n，令 v = sum conj(phi(e_k)) e_k；直接验证 <u,v> = phi(u) 即可。

这给出 V 与其对偶 V* 的一个典范认同，无需选取基——只需内积。（在复情形中映射 phi -> v 是共轭线性的，故有人称之为反线性同构。）内积正是让一个空间看见自身对偶的那种结构。

里斯是伴随背后的引擎：要定义 T^*，固定 v，注意 u -> <T u, v> 是一个泛函，里斯便交给你表示它的唯一向量 T^* v。在无穷维中，对于带有界泛函的希尔伯特空间该定理仍成立——是泛函分析的基石。