内积空间与伴随算子
伴随恒等式
伴随不只是个定义；它服从一套值得背下来的整洁代数。它对标量共轭线性，(c T)^* = conj(c) T^*；可加，(S + T)^* = S^* + T^*；对乘积反序，(S T)^* = T^* S^*；对合，(T^*)^* = T；并把恒等映为恒等。这些是撒了共轭的转置法则的镜像。
反序律 (S T)^* = T^* S^* 是人们最易出错之处。它与逆或转置的翻转相同：先施 S 再施 T，伴随便逆序把它们解开。用 <S T u, v> = <u, (ST)^* v> 快速核对即可确认这个交换。
最深刻的恒等式是四个基本子空间关系：ker T^* = (im T)-perp 与 im T^* = (ker T)-perp，外加两个伙伴 ker T = (im T^*)-perp 与 im T = (ker T^*)-perp。它们说伴随恰好把核换成像的补。
这些关系是第一卷四个基本子空间的正交升级版。它们把秩-零度的记账几何化：定义域裂为 ker T (+) im T^*，到达域裂为 im T (+) ker T^*，而 T 是两个非核部分之间干净的同构。最小二乘、SVD 与伪逆全都正建立在此之上。
(S T)^* = T^* S^*, (T^*)^* = T, ker T^* = (im T)-perp, im T^* = (ker T)-perp
伴随的代数加上基本子空间的对偶；二者合起来把秩-零度化为一个正交分解。
记忆钩子：ker T^* = (im T)-perp 说，伴随的零方向恰是原算子永远到不了的那些方向。正是这一关系使最小二乘把残差落在列空间的正交方向上。
又称
另见