正交补

给定内积空间 V 的子空间 W，其正交补 W-perp 是与 W 中一切都垂直的全体向量：W-perp = { v 属于 V : <v, w> = 0 对一切 w 属于 W }。它是“V 中完全背离 W 的那部分”最干净的概念。

W-perp 本身永远是子空间（垂直向量的线性组合仍垂直），且 W 交 W-perp = {0}，因为与自身正交的向量范数为零。在有限维中，头条结论是正交分解 V = W (+) W-perp：每个向量都唯一地裂为 W 中一块加 W-perp 中一块。

正是这个直和分解使正交投影有了良定义，并把几何化为代数：dim W + dim(W-perp) = dim V，且 (W-perp)-perp = W（在有限维中）。正交补是个诚实的对合——取两次补便回到原处。

对无穷维的告诫：分解 V = W (+) W-perp 需要 W 是闭的（完备），而 (W-perp)-perp 给出的是 W 的闭包，而非 W 本身。有限维情形把这些微妙之处藏了起来，因为每个子空间都自动是闭的。