自伴算子

自伴算子就是等于自己伴随的算子：T = T^*。在标准正交基的坐标下，这意味着矩阵等于它的共轭转置（埃尔米特），或在实情形等于它的普通转置（对称）。这是整个线性代数中性质最好的算子。

定义恒等式 <T u, v> = <u, T v>（对一切 u,v）使二次型 <T v, v> 对每个 v 都为实（因它等于自己的共轭）。由此得两份礼物：每个特征值都是实的，且不同特征值的特征向量自动正交。两者都是简短而令人满意的证明，你应当亲手做一次。

桂冠是谱定理：有限维空间上的自伴算子拥有一组由特征向量构成的标准正交基，因而可用正交（酉）变换对角化，且特征值为实。实对称矩阵与复埃尔米特矩阵恰是那些可由旋转对角化的矩阵。

自伴性是对称的抽象面孔，且无处不在：光滑函数的黑塞矩阵、随机向量的协方差矩阵、量子系统的哈密顿量。凡是要求实谱与正交特征结构之处，自伴性正是在背后发力的假设。