内积空间与伴随算子
正（半）定算子
正算子是二次型从不为负的自伴算子 T：<T v, v> >= 0 对一切 v 成立。若对每个非零 v 严格成立，T 为正定；若可取到零，则为半正定。可把它想成一个总把向量至少部分推回向自身、绝不推向对侧的算子。
若干等价条件值得作为一个整套记住：T 自伴且全部特征值 >= 0；<T v, v> >= 0 对一切 v；T = S^* S 对某算子 S；以及 T 有唯一的正平方根 sqrt(T)（一个正算子 R 满足 R^2 = T）。正是这个平方根让你能对算子取诚实的几何平均。
自伴性是定义的一部分，而非附赠：它保证 <T v, v> 为实，使不等式有意义，并交付实的、非负的谱。在坐标下，这些恰是第一卷中的正（半）定埃尔米特或对称矩阵，如今以不变的方式来看。
它们无处不在，因为平方就产生它们：任何 A^* A 都半正定（其特征值是 A 的奇异值的平方），每个格拉姆矩阵都半正定，每个协方差矩阵都半正定。正定性是某物源自平方和的代数签名。
<T v, v> >= 0 for all v <=> T = T^* and all lambda >= 0 <=> T = S^* S
正定性的三副等价面孔：非负二次型、非负谱、以及 S^* S 形式的分解。
平方根确有大用：它给出极分解 T = U sqrt(T^* T)，即把复数写成（模）（相位）的算子类比。唯一性要求取正平方根——平方根有许多，非负的只有一个。
又称
另见