格拉姆矩阵

给定内积空间中的向量 v_1, ..., v_k，它们的格拉姆矩阵 G 是所有两两内积构成的 k 乘 k 矩阵：G_{ij} = <v_i, v_j>。它把这些向量之间的每个角度与长度打包进一张整洁的表——该配置完整的度量数据。

G 永远是埃尔米特的（G^* = G，因 <v_i, v_j> = conj(<v_j, v_i>)）且半正定：对任意系数 c，量 c^* G c 等于 || sum c_i v_i ||^2 >= 0。故格拉姆矩阵绝不会有负特征值——它的非负性不过是平方长度非负性的乔装。

它最锋利的用途是线性无关检测器：v_1, ..., v_k 线性无关当且仅当 G 可逆（det G != 0，即格拉姆行列式）。相关的一组会迫使存在非零 c 使 sum c_i v_i = 0，于是 c^* G c = 0、G 奇异。线性无关即 G 的正定性。

凡是只知内积而不知向量本身之处，格拉姆矩阵便登场：最小二乘的正规方程 A^* A x = A^* b 用的就是各列的格拉姆矩阵 A^* A；机器学习中的核方法完全在相似度的格拉姆矩阵上运作，从不指名底层的特征向量。