正规算子

正规算子是与自己伴随可交换的算子：T T^* = T^* T。这条件看似技术性，却恰好圈定了谱定理完整成立的那一类算子：T 正规当且仅当它（在 C 上）拥有一组由特征向量构成的标准正交基。

自伴算子（T = T^*）是正规的，酉算子（T^* = T^-1）是正规的，斜伴算子（T^* = -T）也是正规的——它们都是特例，仅以特征值落在复平面何处（实轴、单位圆、虚轴）相区别。正规性是统一它们的大伞。

为何与 T^* 可交换如此重要？因为它迫使 ||T v|| = ||T^* v|| 对每个 v 成立，从而使 T 的特征向量同时也是 T^* 的特征向量（特征值取共轭）。这种对 T 与 T^* 的对称把握，正是允许同时正交对角化的关键。

界限很锐利：一个非正规矩阵，比如单个非平凡的若尔当块，可能根本不可对角化，即便可对角化，其特征向量也未必正交。正规性正是酉变换能完全驯服的算子与不能者之间精确的分界线。