正交群 O(n)、SO(n)

设想 R^n 中固定原点的刚体运动：旋转与反射，任何使长度与角度原封不动的变换。完成此事的矩阵构成正交群 O(n)。它是圆球面的对称群，也是欧几里得几何本身的对称群。

代数上，A 是正交的，当且仅当 A^T A = I，等价于 A^-1 = A^T，也等价于 A 的各列构成一组标准正交基。由 A^T A = I 得 det(A)^2 = 1，故 det A = +1 或 -1。det = +1 的正交矩阵构成特殊正交群 SO(n)——它们是纯旋转；det = -1 则意味着混入了一次反射。

几何上 O(n) = { 保长线性映射 }，因为保持内积 <Ax, Ay> = <x, y> 与 A^T A = I 是一回事。SO(n) 是含单位元的连通分支：你能连续地旋转回到“什么也不做”，却无法把一次镜像翻转连续地形变为单位变换，这正是 O(n) 有两块的缘由。

关于维数的一点提醒：O(n) 并非 n^2 维。A^T A = I 给出的 n(n+1)/2 个方程（一个对称矩阵条件）把它削减到 n(n-1)/2 维——对 n = 3 即为 3，恰与你可绕之旋转的三条独立轴相符。它还是紧的（闭且有界，因每个元素的绝对值 <= 1），这正是在其上取平均表现如此良好的原因。