矩阵群与李理论
无穷小生成元
无穷小生成元是连续对称的“种子”：那微小的初始推动，经反复地、取指数地施加，便构筑出完整的有限变换。对旋转而言，种子就是反对称矩阵；对它们取指数便长出真正的旋转。生成元就是李代数，被看作对称可以开始移动的诸方向。
具体地说，若 gamma(t) = exp(tX) 是单参数子群，则其生成元为 X = gamma'(0)，即单位元处的速度。对 SO(n)，生成元反对称（X^T = -X），因为在 t = 0 处对 A^T A = I 求导得 X^T + X = 0。对 U(n)，它们反埃尔米特（X^* = -X）；对 SU(n)，反埃尔米特且迹零。生成元携带的信息与它所产生的整个流相同。
几何上，一个反对称生成元编码一根轴与一个速率：在三维中，生成元 [0,-c,b; c,0,-a; ...]（反对称）的作用是与向量 (a,b,c) 作叉乘，于是 exp(t X) 绕该轴以单位角速度旋转。“角速度是个向量”这个熟悉的事实，实则是说 so(3) 在此反对称基下是 3 维的。
它为何重要：在物理中，生成元就是守恒量（角动量生成旋转，动量生成平移，哈密顿量生成时间演化）——这是矩阵形式的诺特定理。一点提醒：生成元一般不可交换，故 [X, Y] != 0 意味着你不能简单地把绕不同轴的旋转相加；括号记录了剩下的那一点扭转。
X = [0, -1; 1, 0] generates rotation; X^2 = -I, so exp(tX) = cos(t) I + sin(t) X
反对称生成元 X 的平方为 -I，故其指数坍缩为一个余弦加正弦的公式——欧拉恒等式的 2x2 回声。
物理约定的曲折：物理学家常把酉算子写成 exp(i H t)，其中 H 埃尔米特（即生成元），故他们称那个埃尔米特矩阵为生成元。数学家用反埃尔米特的 iH。同一个流，相差一个因子 i——追查正负号前先核对作者所指。
又称
另见