特殊线性群 SL(n)

在所有可逆矩阵中，挑出那些行列式恰为 1 的。它们是保体积且保定向的映射：可以剧烈地剪切与拉伸空间，但任意区域的总有向体积保持不变。这个子群就是特殊线性群 SL(n)。

形式地说，SL(n, F) = { A in GL(n, F) : det(A) = 1 }。它是群，因为行列式可乘：det(AB) = det(A)det(B) = 1，且 det(A^-1) = 1/det(A) = 1。事实上 SL(n) 恰好是群同态 det : GL(n, F) -> F^*（乘法下的非零标量）的核，这立刻使它成为一个正规子群。

几何上，det = 1 意味着单位立方体映成体积相同、定向相同的立体——不翻转、体积不缩放。与 SO(n) 相比：后者保持长度与角度这种强得多的结构；SL(n) 只守护体积，故大得多，包含那些扭曲所有形状却保持其体积的剪切。

关于其大小与形状的一点提醒：det = 1 这一个方程恰好把维数减一，故 dim SL(n,R) = n^2 - 1。与 SO(n) 和 U(n) 不同，SL(n,R) 不是紧的——像 [1, t; 0, 1] 这样的剪切对每个 t 行列式都为 1，故你能在群内一路跑向无穷。正是这种非紧性，使在 SL(n) 上取平均比在 O(n) 上更需小心。