一般线性群 GL(n)

取所有 n x n 矩阵，再扔掉其中每一个不可逆的。剩下的就是 GL(n)：可逆矩阵的集合。它是本领域一切事物的天然归宿，因为对称就是某种你能撤销的操作，而撤销恰好意味着拥有逆。

精确地说，GL(n, F) = { A in M_n(F) : det(A) != 0 }，其中 F = R 或 C。在矩阵乘法下它是一个群：可逆矩阵之积仍可逆（行列式相乘），单位矩阵是幺元，每个 A 都有逆 A^-1。它不是向量空间——零矩阵以及大多数和都不可逆——所以应把它看作一个乘法世界，而非加法世界。

几何上，GL(n) 是 F^n 上全部可逆线性映射构成的群：每一种可逆的拉伸、剪切、旋转与反射，以及它们的任意组合。本章其余每一个矩阵群（正交、酉、特殊线性、辛）都是从 GL(n) 中、通过要求其保持某种额外结构而切出的子群。

关于它形状的一点提醒：det 是连续函数，所以 det != 0 这一条件使 GL(n,R) 成为 n^2 维矩阵空间中的一个开子集，并裂成两块（det > 0 与 det < 0），二者之间无法连续地往来。相比之下 GL(n,C) 是连通的。这一连通性问题是这些群拥有有趣几何的第一个暗示——它们是李群。