四元数与 SU(2)

四元数以三个虚单位 i、j、k 扩张复数，满足 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1。一个四元数为 q = a + b i + c j + d k。长度为 1 的单位四元数原来恰好就是群 SU(2)，它们给出表示三维旋转最利落、数值上最稳定的方式——这正是图形学与机器人学以它们为生的原因。

桥梁是一个 2 比 1 的同态 SU(2) -> SO(3)：每个三维旋转恰好来自两个单位四元数 q 与 -q。这使 SU(2) 成为 SO(3) 的二重覆盖。具体地，绕单位轴 (x,y,z) 转角 theta 的旋转对应四元数 q = cos(theta/2) + sin(theta/2)(x i + y j + z k)，而你以三明治 q v q^-1（把 v 当作纯四元数）来旋转向量 v。

二重覆盖为何是被迫的：SO(3) 不是单连通的（一个 360 度的环路不能收缩为一点），故它不能是旋转对称的“最佳”版本。SU(2) 作为三维球面，是单连通的，故它是万有覆盖。公式中的半角 theta/2 正是这一二重关系可见的指纹——把 q 转过 360 度，旋转却只走了 180 度。

工程师为何钟爱它们：单位四元数避免万向节锁（欧拉角的奇点），平滑插值（slerp），且只需重新归一化、而非重新正交化便能保持有效。一点提醒：q 与 -q 的符号歧义意味着插值时你须选定一致的半球，否则旋转可能突然绕了远路。