矩阵群与李理论
贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式
当数字可交换时，e^a e^b = e^{a+b}：指数直接相加。矩阵通常不可交换，所以乘积 exp(A)exp(B) 是另一个群元素 exp(C)，而 C 一般不是 A + B。贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式精确地告诉你 C 是什么——而且惊人的是，C 完全由 A、B 及其迭代括号搭成。
公式为 log(exp A exp B) = A + B + (1/2)[A,B] + (1/12)[A,[A,B]] - (1/12)[B,[A,B]] + ...，一个无穷级数，其每一项都是 A 与 B 的嵌套换位子。所以把两个流合并，得到朴素之和 A + B，再加上度量不可交换性的修正项，领头者为括号的一半。
这正是为何李括号、而非矩阵乘积，才是李代数上正确运算的精确缘由：BCH 表明单位元附近的群乘法完全由括号结构决定。关于局部群的一切都编码在 g 及其 [.,.] 之中——这便是“李群被它的李代数所捕获”的形式化版本。
两点提醒。其一，若 [A, B] = 0，则一切修正消失，你便回到 C = A + B 这一可交换情形。其二，该级数仅当 A、B 足够小（在 g 中靠近 0）时收敛；整体上你不能指望单一的闭形式。实践中，头几个括号项对小步长已给出极佳的近似——这正是数值积分中分裂方法的基础。
exp(A) exp(B) = exp(A + B + (1/2)[A,B] + ...); if [A,B] = 0 then = exp(A + B)
BCH 的领头修正是换位子的一半；当且仅当 A 与 B 可交换时它消失，标量指数律随之复原。
一个干净的推论是李乘积公式：exp(A+B) = lim_{n->inf} (exp(A/n) exp(B/n))^n。把每个流切成 n 个微小步并交错施加，使括号修正在极限中消失——这是“相加”不可交换生成元的严格方式。
又称
另见