矩阵对数

如果矩阵指数从李代数攀升到群，那么矩阵对数则反向爬回：它取一个靠近单位元的群元素，并恢复出产生它的那个代数元素（生成元）。它是 exp 的局部逆，回答“这个有限对称来自哪个无穷小对称？”

用幂级数定义 log(A) = (A - I) - (A - I)^2/2 + (A - I)^3/3 - ...，当 A 足够靠近 I 时收敛（精确地说当 ||A - I|| < 1 时）。在该邻域上 log 是真正的逆：exp(log A) = A，且对小的 X 有 log(exp X) = X。于是 exp 与 log 合起来给出一张光滑的图，把群的一小片与其平直李代数的一小片等同起来。

这正是“李群在单位元附近看起来像它的李代数”何以字面成立的原因：log 就是那张把弯曲的群压平到线性代数上的坐标映射。若 A in SO(n) 靠近 I，则 log(A) 反对称；若 A in SU(n)，则 log(A) 反埃尔米特且迹为 0——对数落回正确的李代数中。

此处提醒至关重要。log 并非整体有定义：正如标量对数是多值的（e^{i theta} 与 e^{i(theta + 2 pi)} 取同一值），旋转 360 度等于单位变换，故其对数有歧义。远离 I 时，一个实矩阵可能根本没有实对数（例如某些带负特征值的矩阵），主支是标准的补救办法。