特征理论与对角化
借对角化计算矩阵幂
把一个矩阵自乘许多次，既昂贵又不开窍。但若 A 可对角化，A = P D P^-1，则求幂几乎不费力：A^k = P D^k P^-1，而对角矩阵求幂只需把每个对角元各自取幂。繁重的反复相乘，就被对一些数取幂所取代。
原因在于望远镜式的相消。A^2 = (P D P^-1)(P D P^-1) = P D (P^-1 P) D P^-1 = P D^2 P^-1，同样的相消重复 k 次便得 A^k = P D^k P^-1。对角化一次，然后代入任意 k，就同时给出对每个幂都成立的闭形式——依同样思想，还包括 e^A = P e^D P^-1 及其他矩阵函数。
标志性应用是以闭形式求解线性递推。把递推写成向量更新 u_{k+1} = A u_k；则 u_k = A^k u_0 = P D^k P^-1 u_0，读出各分量便得显式公式。对斐波那契数列，其 2x2 友矩阵的特征值是黄金比 phi 及其共轭，而这正是 Binet 公式 F_k = (phi^k - psi^k)/sqrt(5) 的来处。
A = P D P^-1 => A^k = P D^k P^-1 , where D^k = diag(lambda_1^k, ..., lambda_n^k)
对角化一次，此后每个幂都可由对角线上的特征值取幂得到。
当 A 亏损、不可对角化时，同样的方案借 Jordan 形 A = P J P^-1 仍然奏效：Jordan 块的幂 J^k 有含二项式系数的整齐闭形式，故即便没有完整特征向量基，闭形式的幂依然存在。
又称
另见