谱半径

矩阵的谱半径，是其最大特征值按绝对值度量的大小：rho(A) = max |lambda|，取遍所有特征值 lambda。它忽略方向与符号，只问那个最主导的伸缩因子在量值上有多大。它是一个单一的数，刻画了算子沿某个特征方向所能施加的最激烈拉伸。

它的核心作用是支配幂 A^k 的长期行为。若 rho(A) < 1，则 k 增大时 A^k -> 0（动力学衰减）；若 rho(A) > 1，幂会爆炸；若 rho(A) = 1，则保持有界或振荡。更精确地，Gelfand 公式给出 rho(A) = lim ||A^k||^{1/k}，把谱半径与幂的任意矩阵范数的渐近增长率联系起来。

尽管对每个诱导范数都有 rho(A) <= ||A||（谱半径绝不超过任何算子范数），谱半径本身一般并不是范数——对一个非零的幂零矩阵它可以为 0。它在矩阵分析中反复出现：迭代解法的收敛性、离散动力系统的稳定性，以及非负矩阵的 Perron-Frobenius 理论。