主特征值

若你取几乎任意一个初始向量，反复地用 A 去乘它，它最终安定下来的方向，就是最大量值特征值所对应的特征向量。那个特征值就是主特征值：它的伸缩超过其余所有，于是在足够多次相乘之后，它压过别人，主宰了极限方向。

原因如下。把初始向量按特征向量基展开，x = c_1 v_1 + ... + c_n v_n。则 A^k x = c_1 lambda_1^k v_1 + ... + c_n lambda_n^k v_n。若对所有其他 j 都有 |lambda_1| > |lambda_j|，则 lambda_1^k v_1 一项增长最快，故除以其大小后，A^k x 基本沿 v_1 方向。相继长度之比收敛到 |lambda_1|。这就是幂法，最简单的特征值算法。

主特征值是众多应用的种子。Google 最初的 PageRank 就是网页链接矩阵的主特征向量，正是用这种反复相乘的思想算出的。该方法需要一个严格的间隙（|lambda_1| > |lambda_2|），以及一个沿 v_1 有非零分量的初始向量；出现并列或复主特征对时需要改进，但其核心直觉——最大特征值赢得长程——正是谱半径的故事被赋予了动态。