特征值估计

精确计算特征值意味着求解多项式，这对大矩阵不切实际，对五次及以上更是根本没有公式。特征值估计绕开了这一点：它直接从矩阵元出发，圈定特征值必然所在的位置——界与区域——而无需求解特征方程。

主力是 Gershgorin 圆盘定理。对每一行 i，在复平面上画一个圆盘，圆心为对角元 a_ii，半径等于该行其余元素绝对值之和 R_i = sum_{j != i} |a_ij|。每个特征值都落在这些 Gershgorin 圆盘的并集中。于是只消看一眼矩阵，就能把它的整个谱困在区区几个圆里。

对于对称（或 Hermitian）矩阵，Rayleigh 商给出锐利的变分界。商 r(x) = <Ax, x> / <x, x> 总落在最小与最大特征值之间，因而任一试探向量 x 都给出 lambda_max 的可靠下界与 lambda_min 的可靠上界。Courant-Fischer 极小极大定理把这一点推广到中间的每一个特征值。