行列式-迹恒等式

行列式与迹是附着于算子的两个最简单的无基数，一张恒等式之网把它们联系起来。招牌是 det(exp A) = exp(tr A)：对矩阵取指数，通过指数函数把迹（一个和）变成行列式（一个积）。这两个不变量不是各自独立的奇景；它们是同一个多项式——特征多项式——的两端系数。

二者都是特征值 lambda_1, ..., lambda_n 的初等对称函数。行列式是它们的积，det = lambda_1 * ... * lambda_n；迹是它们的和，tr = lambda_1 + ... + lambda_n。更完整地，特征多项式 det(t*I - A) = t^n - (tr A) t^(n-1) + ... + (-1)^n det(A) 的诸系数正是特征值的初等对称函数 e_1, ..., e_n；迹是 e_1（差一符号），行列式是 e_n。其间的每个系数都是另一个对称函数，一个“高阶迹”。

恒等式 det(exp A) = exp(tr A) 由此干净地导出：exp A 的特征值是 exp(lambda_i)，故 det(exp A) = exp(lambda_i) 之积 = exp(lambda_i 之和) = exp(tr A)。这是动力系统中刘维尔定理的线性代数内核（一个流的体积增长由其生成元的迹支配），也是动矩阵公式 d/dt det(M(t)) = det(M) * tr(M^-1 M') 的内核。

注意：tr A 是按代数重数计的特征值之和，det A 是它们之积，并且要在复数（或任意代数闭域）上才使所有特征值存在。在实数上矩阵可能缺乏完整的实特征值集，然而迹与行列式作为关于元素的多项式量仍是实的且良定义的——它们无论如何都是诚实的不变量，只是不再字面上是实特征值的实积或实和。