外爾不等式（特徵值）

假設你知道自伴算子 A 的特徵值，然後把它微調為 A + B，其中 B 也自伴。特徵值能移動多遠？外爾不等式給出尖銳的界來回答，它們是特徵值擾動理論的基石。它們直接從庫朗-菲舍爾極小極大刻畫導出，因為那個公式在相同子空間上比較 A 與 A + B 的瑞利商。

把特徵值按降序排列。最簡單的外爾界說每個特徵值的移動不超過擾動的大小：|lambda_k(A + B) - lambda_k(A)| <= ||B||，其中 ||B|| 是 B 的最大 |特徵值|（算子範數）。更精細的外爾不等式給出交錯式的界，如 lambda_{i+j-1}(A + B) <= lambda_i(A) + lambda_j(B)，把和的譜夾在各自譜之和之間。它們準確告訴你 A + B 的特徵值如何與 A 和 B 的交錯。

這些界之所以重要，是因為真實矩陣從不被精確知曉。測量噪聲、捨入和建模誤差都會擾動一個算子，而外爾保證特徵值是穩定的：一個小的對稱擾動只能把每個特徵值移動一點點。這種 Lipschitz 穩定性是自伴世界特有的——非正規矩陣的特徵值可能在微小擾動下劇烈跳變。同一圈想法還導出柯西交錯定理（刪去一行一列使每個特徵值至多移動一個位次）和 Lidskii 型優超結果。