譜定理（自伴）

在第一卷裡你學過，有些矩陣可對角化，有些則不行。譜理論的第一個勝利，是指出一大類自然的算子總是可對角化，而且是以最理想的方式對角化：自伴算子。有限維內積空間上的算子 T，當 T = T^* 時稱為自伴，即對所有向量 u、v 都有 <Tu, v> = <u, Tv>。對實矩陣這就是 A = A^T（對稱）；對複矩陣則是 A = A^*（厄米，即共軛轉置）。

定理斷言：每個自伴算子都有一組標準正交的特徵向量基，且每個特徵值都是實數。於是整個空間可寫成各特徵子空間的正交直和，算子只是把每個子空間按一個實數縮放。沒有虧損方向，沒有 Jordan 塊，沒有藏著的複特徵值——幾何結構完全透明。特徵值為實可由一行計算得出：若 Tv = lambda v 且 v 非零，則 lambda <v,v> = <Tv,v> = <v,Tv> = conj(lambda) <v,v>，迫使 lambda = conj(lambda)。

為什麼這裡的正交性是白送的，而一般可對角化矩陣只給你一組（可能歪斜的）特徵基？因為不同特徵值的特徵向量自動正交：若 Tu = lambda u、Tv = mu v 且 lambda != mu，則 lambda <u,v> = <Tu,v> = <u,Tv> = mu <u,v>，故 (lambda - mu)<u,v> = 0 迫使 <u,v> = 0。在重特徵值內部，可用 Gram-Schmidt 正交化。回報巨大：自伴算子之所以是物理學的矩陣（可觀測量、協方差、應力），正是因為它們的特徵值為實、特徵方向互相垂直。