譜分解

寫下一個可對角化算子有兩種方式。一種列出特徵向量和特徵值。另一種是譜分解，用投影來重新打包同樣的信息，結果在計算上要方便得多。若正規算子 T 有相異特徵值 lambda_1, ..., lambda_k，則譜分解為 T = lambda_1 P_1 + ... + lambda_k P_k，其中每個 P_i 是到 lambda_i 特徵子空間的正交投影。

這些投影遵守三條乾淨的規則，使該分解成為名副其實的「分解」：每個 P_i 自伴且冪等（P_i^2 = P_i，即正交投影）；相異的互相正交（i != j 時 P_i P_j = 0）；它們合起來重構恆等，P_1 + ... + P_k = I。最後這個等式稱為「恆等的分解」：這些投影把整個空間切成互相垂直、不重疊、無空隙的特徵子空間塊。

妙處在於投影替你做完了全部記帳。冪瞬間坍縮：T^2 = sum lambda_i^2 P_i，因為交叉項 P_i P_j 消失。任意多項式 p 給出 p(T) = sum p(lambda_i) P_i。這正是函數演算的起跳台，在那裡 p 被換成任意函數 f。注意分組是按相異特徵值，而非按特徵向量——一個重特徵值只貢獻一個到它整個（可能多維的）特徵子空間的投影。