譜定理
譜定理（正規）
自伴算子並非唯一擁有標準正交特徵基的算子。在複數上，有一個簡潔的條件一次性刻畫了所有這樣的算子。當算子 N 與其伴隨交換時，稱 N 為正規：N N^* = N^* N。自伴算子（N = N^*）、酉算子（N^* = N^-1）、反自伴算子（N^* = -N）都是特例，而正規是最寬的總稱。
複譜定理斷言：有限維複內積空間上的算子可酉對角化，當且僅當它是正規的。可酉對角化意味著存在一組標準正交的特徵向量基，等價於 N = Q D Q^*，其中 Q 是酉矩陣，D 是對角矩陣。這是最一般的有限維譜命題：它精確劃出了哪些算子擁有垂直特徵基的邊界。邊界之內皆正規，正規者皆在內。
這裡的特徵值可以是任意複數，這正是定理活在 C 上的原因。每個特例只是對這些特徵值落點的約束：自伴把它們逼到實軸上，酉把它們逼到單位圓上，反自伴逼到虛軸上。證明通常經由 Schur 定理（每個複矩陣都可酉上三角化），再說明對正規矩陣這個三角因子必為對角，因為交換條件抹去了所有非對角元。
N = [0, -1; 1, 0] (rotation): N N^* = N^* N = I, normal, eigenvalues i and -i over C
90 度旋轉是正規但非自伴；在 C 上特徵值為 i 和 -i，並有一組酉特徵基。
正規性恰好是 C 上擁有垂直特徵基的判據。一個快捷檢驗：N 正規當且僅當對所有 v 有 ||Nv|| = ||N^* v||，這使 ker N = ker N^*，迫使特徵向量被共享且正交。
又稱
另見